Question

等腰△ABO中，AO=AB，点A在x轴负轴上，点B在第二象限，C为y轴正半轴上的一动点，以AC为边在AC的上侧作等腰△ACD，AC=AD，且∠CAD=∠BAO直线BD交坐标抽于E、F两点．

（1）求证：DB⊥AB；
（2）若AO=1，∠BAO=60°，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，M为射线EF上一动点，以OM为边向下作等边△OMN，点P为△OMN的内角平分线的交点，点P是否恒在∠OEF的平分线上？若恒在，请证明；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）根据∠CAD=∠BAO可得∠BAD=∠OAC，再根据AC=AD，AB=AO，可以求证△ABD≌△AOC，即可求证DB⊥AB；
（2）若AO=1，则AB=1，由∠BAO=60°，DB⊥AB可得∠AFB=30°，即可得AF=2AB，即可求得F点的坐标；
（3）连接OP、PM，过P作PT⊥EF于T，PQ⊥EO于Q，求出OP=OM，∠OPQ=∠TPM，证出△OPQ≌△MPT，根据全等三角形的性质推出PT=PQ即可．

解答：（1）证明：∵∠CAD=∠BAO，
∴∠CAD-∠BAC=∠BAO-∠BAC，
∴∠DAB=∠CAO，
在△ABD和△AOC中，

AD=AC ∠DAB=∠CAO AB=AO

，
∴△ABD≌△AOC，
∴∠ABD=∠AOC=90°，
∴DB⊥AB；

（2）解：∵DB⊥AB，
∴∠ABF=90°，
∵∠BAO=60°，
∴∠BFA=30°，
∵AB=AO=1，
∴AF=2AB=2，OF=2-1=1，
∴F的坐标是（1，0）；

（3）解：P在∠OEF的平分线上
理由是：如图2，连接OP、PM，过P作PT⊥EF于T，PQ⊥EO于Q，
则∠PQE=∠PTE=90°，∠PQO=∠PTM=90°，
∵∠EOF=90°，∠EFA=30°，
∴∠OEF=60°，
∴∠QPT=360°-90°-90°-60°=120°，
∵P是等边三角形OMN的角平分线交点，
∴∠POM=∠PMO=30°，
∴OP=PM，∠OPM=180°-30°-30°=120°，
∴∠QOT=∠OPM，
∴都减去∠OPT得：∠OPQ=∠TPM，
在△OPQ和△MPT中，

∠OPQ=∠TPM ∠PQO=∠PTM OP=PM

，
∴△OPQ≌△MPT（AAS），
∴PT=PQ，
∵PT⊥EF，PQ⊥EO，
∴P在∠OEF的平分线上．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，题目综合性比较强，难度偏大．