Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点A时抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$与x轴正半轴交点，点B在抛物线上，其横坐标为1，直线AB与y轴交于点C．点M、P在线段AC上，点Q在抛物线上，且MQ平行于x轴，PQ平行于y轴．设点P横坐标为m．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）用含m的代数式表示线段PQ的长；
（3）以PQ、QM为邻边作矩形PQMN，求矩形PQMN的周长为9时m的值．

Answer 1

分析 （1）由点A时抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$与x轴正半轴交点，点B在抛物线上，其横坐标为1，即可求得点A与B的坐标，再利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）分别从当0≤m≤1时与当1＜m≤4时，去分析求解即可求得答案；
（3）首先可求得tan∠QMP=$\frac{PQ}{MQ}$=$\frac{1}{2}$，即可得矩形PQMN的周长=6PQ，又由矩形PQMN的周长为9，即可得到方程，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵点A时抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$与x轴正半轴交点，
∴-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$x（x-4）=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
∵点B在抛物线上，其横坐标为1，
∴y=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
∴点B（1，$\frac{3}{2}$），
设直线y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）根据题意得：P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m），Q（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∴当0≤m≤1时，PQ=（-$\frac{1}{2}$m+2）-（-$\frac{1}{2}$m²+2m）=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2；
当1＜m≤4时，PQ=（-$\frac{1}{2}$m²+2m）-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2；

（3）∵MQ平行于x轴，PQ平行于y轴，
∴∠QMP=∠OAC，
∵点C（0，2），A（4，0），
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠QMP=$\frac{PQ}{MQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴MQ=2PQ，
∵矩形PQMN的周长为9，
∴当0＜m≤1时，2（MQ+PQ）=6PQ=6（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）=9，
解得：m₁=$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$（舍去），
∴m₂=$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$；
∴2（MQ+PQ）=6PQ=6（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2）=9，
此时无解；
综上，矩形PQMN的周长为9时，m=$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式以及三角形函数的性质的知识．注意根据坐标表示出PQ是关键．