Question

19．如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，若CE=BF，AE=EF+BF．试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 根据AE⊥CD，BF⊥CD，得到∠AEC=∠BFC=90°，由于CF=EE+CF，CE=BF，得到CF=EF+BF，于是得到AE=CF，证得Rt△ACE≌Rt△CBF，得出∠BCF=∠CAE，然后根据∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠AEC=90°，即可得到结论．

解答 解：AC⊥BC，理由如下：
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵CF=EE+CF，CE=BF，
∴CF=EF+BF，
∵AE=EF+BF，
∴AE=CF，
在Rt△ACE≌Rt△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠CAE，
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠AEC=90°，
∴AC⊥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．