四边形ABCD为正方形.点E为射线AC上一点.连接DE.过点E作EF⊥DE.交射线BC于点F.以DE.EF为邻边作矩形DEFG.连接CG．(1)如图1.当点E在线段AC上时．①求证:矩形DEFG是正方形,②求证:AC=CE+CG,(2)如图2.当点E在线段AC的延长线上时.请你在图2中画出相应图形.并直接写出AC.CE.CG之间的数量关系,(3)直接写出∠FCG的度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

9．四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，当点E在线段AC上时．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②求证：AC=CE+CG；
（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；
（3）直接写出∠FCG的度数．

分析（1）①作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；
②根据三角形全等的判定定理证明△AED≌△CGD，得到AE=CG，证明结论；
（2）根据题意画出图形，与（1）的方法类似，证明△ADE≌△CDG，得到AE=CG，即可得到答案；
（3）根据全等三角形的性质和点E的不同位置求出∠FCG的度数．

解答（1）①证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QEF=∠PED}\\{EQ=EP}\\{∠EQF=∠EPD}\end{array}\right.$，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
②∵∠ADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△AED和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CGD，
∴AE=CG，
∴AC=CE+AE=CE+CG；
（2）AC+CE=CG，
证明：由（1）得，矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，
∴AC+CE=CG；
（3）如图1，当点E为线段AC上时，
∵△ADE≌△CDG，∴∠DCG=∠DAE=45°，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=135°；
如图2，当点E为线段AC的延长线上时，
∠FCG=∠FCD-∠DCG=45°．

点评本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．

练习册系列答案

黄冈海淀大考卷单元期末冲刺100分系列答案

课时掌控随堂练习系列答案

课堂新动态系列答案

一课一练一本通系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>