Question

10．如图，在四边形ABCD的边AB上任取一点O（不与点A、B重合）连接OC、OD，分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，连接A′D′、D′C′、C′B′、，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相似吗？为什么？

Answer 1

分析 根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案．

解答 解：四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，
证明：∵A′、D′是OA、OD的中点，
∴A′D′∥AD，A′D′=$\frac{1}{2}$AD，
∴$\frac{A′D′}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
同理$\frac{C′D′}{CD}$=$\frac{B′C′}{BC}$$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵A′D′∥AD，
∴∠OA′D′=∠OAD，∠OD′A′=∠ODA，
可以证明：两个四边形的对应角相等，
∴四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD．

点评 本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理，掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三角形中位线定理是解题的关键．