Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是1cm/s，过点P作PE∥AC交DC于点E，同时，点Q从点C出发沿CB方向，在射线CB上匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、QE，PQ与AC交与点F，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．
（1）当t为何值时，四边形PFCE是平行四边形；
（2）设△PQE的面积为s（cm²），求s与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积为矩形ABCD面积的

9

32

；
（4）是否存在某一时刻t，使得点E在线段PQ的垂直平分线上．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）四边形PFCE是平行四边形则PD=CQ，据此即可得到关于t的方程，即可求解；
（2）用t表示出PD、EC、DE、CQ的长，则四边形DPQC、△PDE以及△QCE的面积可用t表示，则进一步表示出△PQE的面积，从而得到函数解析式；
（3）根据△PQE的面积为矩形ABCD面积的

9

32

即可列方程求解；
（4）点E在线段PQ的垂直平分线上，则PE=QE，然后根据勾股定理表示出PE²和QE²，即可列方程求得t的值．

解答：解：（1）PD=8-t，CQ=2t，
根据题意得：8-t=2t，
解得：t=

8

3

；

（2）S_{四边形PDCQ}=

1

2

（PD+CQ）•CD=

1

2

×6（8-t+2t）=3t（8+t）=3t²+24t，
∵PE∥AC，
∴

PD

AD

=

DE

DC

，
∴

8-t

8

=

DE

6

，
则DE=-

3

4

t+6，
则EC=6-（-

3

4

t+6）=

3

4

t，
则S_△PDE=

1

2

PD•DE=

1

2

（8-t）•（-

3

4

t+6），
S_△CQE=

1

2

CQ•EC=

1

2

×2t•

3

4

t=

3

4

t²，
则s=3t²+24t-

1

2

（8-t）•（-

3

4

t+6）-

3

4

t²，
即s=

15

8

t²+30t-24；

（3）S_矩形ABCD=6×8=48，
根据由题意得：

15

8

t²+30t-24=

9

32

×48，即t²+16t-20=0，
解得：t=2

21

-8或-2

21

-8（舍去）．
则t=2

21

-8；

（4）在直角△PDE中，PD²=（8-t）²+（-

3

4

t+6）²，
在直角△COQ中，QE²=（2t）²+（

3

4

t）²，
当点E在线段PQ的垂直平分线上时，PD²=QE²，
则（8-t）²+（-

3

4

t+6）²=（2t）²+（

3

4

t）²，
解得：t=

-25+5 73

6

或

-25-5 73

6

（舍去）．
则t=

-25+5 73

6

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，以及勾股定理，正确解方程是解决本题的关键．