Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是AC边上的一点，连结BD，作AE⊥BD交BC于点E，交BD于点G，AF平分∠BAC交BD于点F，试说明AE=BF的理由．

Answer 1

分析 由直角三角形的两个锐角互余得出∠ABF=∠CAE，再由等腰直角三角形的性质和角平分线得出∠BAF=∠C，由ASA证明△BAF≌△CAE，得出对应边相等即可．

解答 证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠CAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠CAE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AF是角平分线，
∴∠BAF=45°=∠C，
在△BAF和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠CAE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠BAF=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△CAE（ASA），
∴AE=BF．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形两个锐角互余的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．