【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s.解答下列问题:
(1)当t为何值时,以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似?
(2)当t为何值时,△EPQ为等腰三角形?(直接写出答案即可);
【答案】(1)当t为s或s时,以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似.
(2)t=1或3或或秒时,△PQE是等腰三角形.
【解析】试题分析:(1)如图①所示,当PQ⊥AB时,△PQE是直角三角形.解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示,这需要利用相似三角形(△PQE∽△ACB)比例线段关系(或三角函数);
(2)分三种情形讨论,如图3中,当点Q在线段BE上时,EP=EQ;如图4中,当点Q在线段AE上时,EQ=EP;如图5中,当点Q在线段AE上时,EQ=QP;如图6中,当点Q在线段AE上时,PQ=EP.分别列出方程即可解决问题.
试题解析:(1)如图1中,
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8
∴AB==10.
∵D、E分别是AC、AB的中点.
AD=DC=3,AE=EB=5,DE∥BC且
DE=BC=4,
①PQ⊥AB时,
∵∠PQB=∠ADE=90°,∠AED=∠PEQ,
∴△PQE∽△ADE,
,由题意得:PE=4﹣t,QE=2t﹣5,
即 ,解得t=;
②如图2中,
当PQ⊥DE时,△PQE∽△DAE,
∴,
∴,
∴t=,
∴当t为s或s时,以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似.
(2)如图3中,当点Q在线段BE上时,由EP=EQ,可得4﹣t=5﹣2t,t=1.
如图4中,当点Q在线段AE上时,由EQ=EP,可得4﹣t=2t﹣5,解得t=3.
如图5中,当点Q在线段AE上时,由EQ=QP,可得(4﹣t):(2t﹣5)=4:5,解得t=.
如图6中,当点Q在线段AE上时,由PQ=EP,可得(2t﹣5):(4﹣t)=4:5,解得t=.
综上所述,t=1或3或或秒时,△PQE是等腰三角形.
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【题目】(本题10分)如图,直线y=x+m和抛物线y=+bx+c都经过点A(1,0),
B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案)
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【题目】如图,在矩形ABCD中,∠DAF=300,M是CD上一点,AM的延长线交BC的延长线于点F,BE垂直平分AM,DG∥AF,MG∥DE.
(1)判断四边形DEMG的形状,并说明理由;
(2)求证:△ADM≌△FCM.
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【题目】把一副三角板按如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm.把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙).这时AB与CD1相交于点O、与D1E1相交于点F.
(1)求∠OFE1的度数;
(2)求线段AD1的长;
(3)若把△DCE绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2,这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上?说明理由.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交CD于点G.
(1)若,则______.
(2)若,求的值.(用含有m的代数式表示,写出解答过程)
(3)如图2,四边形ABCD中,DC//AB,点E是BC的延长线上的一点,AE是BD相交于点F,若,,则____.(直接用含a,b的代数式表示)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,E是斜边AB的中点,点P为AC边上一动点,若Rt△ABC的直角边AC=4,则PB+PE的最小值等于_____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣2a与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴将于点C(0,﹣).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D(2,n)是抛物线上的一点,在y轴左侧的抛物线上存在点T,使△TAD的面积等于△TBD的面积,求出所有满足条件的点T的坐标;
(3)直线y=kx﹣k+2,与抛物线交于两点P、Q,其中在点P在第一象限,点Q在第二象限,PA交y轴于点M,QA交y轴于点N,连接BM、BN,试判断△BMN的形状并证明你的结论.
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【题目】如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).
(1)求灯杆CD的高度;
(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【题目】如图1(注:与图2完全相同),在直角坐标系中,抛物线经过点三点,,.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)是抛物线对称轴上的一点,求满足的值为最小的点坐标(请在图1中探索);
(3)在第四象限的抛物线上是否存在点,使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形?若存在,请求出点坐标,若不存在请说明理由.(请在图2中探索)
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