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【题目】如图,在ABC中,∠C=90°AC=6cmBC=8cmDE分别是ACAB的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t0t4s.解答下列问题:

1)当t为何值时,以点EPQ为顶点的三角形与ADE相似?

2)当t为何值时,EPQ为等腰三角形?(直接写出答案即可);

【答案】1)当tss时,以点EPQ为顶点的三角形与ADE相似.

2t=13秒时,PQE是等腰三角形.

【解析】试题分析:1)如图①所示,当PQAB时,PQE是直角三角形.解决问题的要点是将PQE的三边长PEQEPQ用时间t表示,这需要利用相似三角形(PQE∽△ACB)比例线段关系(或三角函数);

2)分三种情形讨论,如图3中,当点Q在线段BE上时,EP=EQ;如图4中,当点Q在线段AE上时,EQ=EP;如图5中,当点Q在线段AE上时,EQ=QP;如图6中,当点Q在线段AE上时,PQ=EP.分别列出方程即可解决问题.

试题解析:(1)如图1中,

RtABC中,AC=6BC=8

AB==10

DE分别是ACAB的中点.

AD=DC=3AE=EB=5DEBC

DE=BC=4

PQAB时,

∵∠PQB=ADE=90°AED=PEQ

∴△PQE∽△ADE

,由题意得:PE=4tQE=2t5

,解得t=

②如图2中,

PQDE时,PQE∽△DAE

t=

∴当tss时,以点EPQ为顶点的三角形与ADE相似.

2)如图3中,当点Q在线段BE上时,由EP=EQ,可得4﹣t=5﹣2tt=1

如图4中,当点Q在线段AE上时,由EQ=EP,可得4﹣t=2t﹣5,解得t=3

如图5中,当点Q在线段AE上时,由EQ=QP,可得4t):(2t5=45,解得t=

如图6中,当点Q在线段AE上时,由PQ=EP,可得2t5):(4t=45,解得t=

综上所述,t=13秒时,PQE是等腰三角形.

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