【题目】把一副三角板按如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm.把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙).这时AB与CD1相交于点O、与D1E1相交于点F.
(1)求∠OFE1的度数;
(2)求线段AD1的长;
(3)若把△DCE绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2,这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上?说明理由.
【答案】(1)∠OFE1=120°;(2)AD1=5;(3)点B在△D2CE2的内部.理由见解析.
【解析】
(1)根据旋转角求出∠OCB=45°,从而求出∠COB=90°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解;
(2)根据等腰直角三角形的性质求出AO=CO=AB,再求出OD1,然后利用勾股定理列式计算即可得解;
(3)设直线CB与D2E2相交于P,然后判断出△CPE2是等腰直角三角形,再求出CP,然后与CB相比较即可得解.
(1)∵旋转角为15°,
∴∠OCB=60°﹣15°=45°,
∴∠COB=180°﹣45°﹣45°=90°,
∴CD1⊥AB,
在Rt△D1OF中,∠OFE1=∠CD1E1+∠D1OF=30°+90°=120°;
(2)∵CD1⊥AB,
∴AO=CO=AB=×6=3,
∴OD1=D1C﹣CO=7﹣3=4,
在Rt△AD1O中,由勾股定理得,AD1===5;
(3)点B在△D2CE2的内部.
理由:设直线CB与D2E2相交于P,
∵△DCE绕着点C顺时针再旋转30°,
∴∠PCE2=15°+30°=45°,
∴△CPE2是等腰直角三角形,
∴CP=CE2=,
∵AB=6,
∴CB=AB=3<,即CB<CP,
∴点B在△D2CE2的内部.
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【题目】在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD
(1)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,易证AD+BA=AC
(2)如图2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)如图3,若∠DAB=90°,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,以BC为斜边在矩形所在平面作直角三角形BEC,F为CD的中点,则EF的最小值为 ( )
A. B. 4C. D. 1
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【题目】(4分)如图,抛物线的对称轴是.且过点(,0),有下列结论:①abc>0;②a﹣2b+4c=0;③25a﹣10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a﹣b≥m(am﹣b);其中所有正确的结论是 .(填写正确结论的序号)
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【题目】如图,已知抛物线经过点、.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点的坐标;
(2)若点在抛物线上,且点的横坐标为8,求四边形的面积
(3)定点在轴上,若将抛物线的图象向左平移2各单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,点在新的抛物线上运动,求定点与动点之间距离的最小值(用含的代数式表示)
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【题目】如图,一次函数的图象与双曲线相交于A(-1,2)和B(2,b)两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出不等式的解集;
(3)经研究发现:在y轴负半轴上存在若干个点P,使得为等腰三角形。请直接写出P点所有可能的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s.解答下列问题:
(1)当t为何值时,以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似?
(2)当t为何值时,△EPQ为等腰三角形?(直接写出答案即可);
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【题目】小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
(一)猜测探究
在中,,是平面内任意一点,将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度,得到线段,连接.
(1)如图1,若是线段上的任意一点,请直接写出与的数量关系是 ,与的数量关系是 ;
(2)如图2,点是延长线上点,若是内部射线上任意一点,连接,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
(二)拓展应用
如图3,在中,,,,是上的任意点,连接,将绕点按顺时针方向旋转,得到线段,连接.求线段长度的最小值.
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【题目】投资8000元围成一个矩形菜园(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造,墙长35m,平行于墙的边的费用为100元/m,垂直于墙的边的费用为250元/m,设平行的墙的边长为xm.
(1)设垂直于墙的一边长为ym,直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)若菜园面积为300m2,求x的值;
(3)求菜园的最大面积.
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