Question

【题目】如图，一次函数的图象与双曲线相交于A(-1，2)和B(2，b)两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D.

(1)求一次函数的解析式；

(2)根据图象直接写出不等式的解集；

(3)经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得为等腰三角形。请直接写出P点所有可能的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y1＝-x+1；（2）-1≤x＜0或x≥2；（3）(0，-1)，(0，1-)，(0，-3)．

【解析】

(1)将A，B坐标代入反比例函数解析式求出k，b的值，再将A，B点代入一次函数解析式可求解；

(2)由A与B交点横坐标，根据函数图象确定出所求不等式的解集即可；

(3)根据等腰三角形的性质分PC=PB，PC=BC，PB=BC求解即可.

解：(1)∵A(-1，2)和B(2，b)在双曲线(k≠0)上，

∴k＝-1×2＝2b，

解得b＝-1．

∴B(2，-1)．

∵A(-1，2)和B(2，-1)在直线y1＝mx+n(m≠0)上，

∴，

解得，

∴y1＝-x+1；

(2)由图象可知：-1≤x＜0或x≥2是不等式的解集；

(3)由（1）y1＝-x+1可知C点的坐标为（0，1）

B(2，-1)

∴BC=

要使得为等腰三角形

∴PC=PB或PC=BC或PB=BC

当P1C= P1B时，设P1（0，y1），如下图

B(2，-1)

则P1B=2

∴P1C= P1B=2

又C（0，1），P1C=O P1+OC

∴O P1=1,即y1=-1

P1（0，-1）；

当P2C=BC时，设P2（0，y2），如下图

BC=

∴P2C=BC=

又C（0，1），P2C=O P2+OC

∴O P2=-1,即y2=1-

P2（0， 1-）；

当P3B=BC时，设P3（0，y3），如下图

BC=

∴P3C=BC=

∴CP3= =4

又C（0，1），P3C=O P3+OC

∴O P3=4-1=3,即y3=-3

P3（0， -3）.

综上所述满足要求的P点坐标为：(0，-1)，(0，1-)，(0，-3)．