Question

如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④

CD

BD

=1．其中正确的是（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：①根据：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°，从而得证结论正确；
②根据CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论；
③根据∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性质和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出结论；
④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=

1

2

AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=DM=

1

2

AC=

1

2

BC，从而得出CN=BN．然后即可得出结论．

解答：解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=

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2

（180°-30°）=75°，
∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，
∴∠ECA=165°∴①正确；
②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证），
∴∠BCE=∠ECA-∠ACB=165-90=75°，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=BC，∴②正确；
③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45-30=15°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABF=45+30=75°，
∴∠AFB=180-15-75=90°，
∴AD⊥BE．
④证明：如图，
过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD=30°，且DM=

1

2

AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，
∴∠NCD=90°-∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC-∠ACD=15°，
在△CMD和△CND中，

∠CMD=∠CND ∠MDC=∠NCD CD=CD

，
∴△CMD≌△CND，
∴CN=DM=

1

2

AC=

1

2

BC，
∴CN=BN．
∵DN⊥BC，
∴BD=CD．∴④正确．
所以4个结论都正确．
故选D．

点评：此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．