Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），B（4，8），C（0，8）点P从点O出发，沿O、A、B、C路线运动，到C点停止；点Q从C点出发，沿C、B、A、O路线运动，到O停止．若点P、Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a秒时四边形PABC为平行四边形，此时点P、Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度为dcm/s．图2是点P出发x秒后△OPC的面积S₁（cm²）与x（s）的函数关系图象，图3是点Q出发x秒后△OQC的面积S₂（cm²）与x（s）的函数关系图象．
（1）参照图2、图3，求a、b、c及d、m的值．
（2）点Q运动几秒时，OQ⊥AB，并判断此时四边形OPQB的形状．
（3）设点P离开O的路程为y₁（cm），点Q距O的路程为y₂（cm），请分别写出点P、Q改变速度后，y₁、y₂与出发后的运动时间x（s）的函数关系式．并求出P、Q相遇时x的值．
（4）当x满足2≤x≤14条件时，点P、Q在运动路线上相距的路程不大于18cm．

Answer 1

分析 第（1）小题，通过观察图1可以看出，要使四边形PABC为平行四边形，需满足AP∥BC，且AP=BC，进而求出OP的长度，根据时间=路程÷速度，即可求出a；观察图2，可以看出m是当时间是6s时△OPC的面积，根据面积公式，求出m即可；根据时间是8s时，△OPC的面积为40，即可求得点P的运动速度b；根据点Q改变速度后运动的距离和时间，即求得d；通过观察图3可知，c表示点Q从点C出发到点O所用的时间，可根据点Q从点A运动到点O，运动的距离为10，速度是1cm/s，求出时间即可；
第（2）小题，根据题意，作出辅助线，过点O作OM⊥AB于点M，根据三角形全等，求得AM=AN，求出BM的长度，即求得点Q从点C运动到点M的距离，从而求出点Q的运动时间；根据△AQP∽△ABO，求出∠AQP=∠AB0，进而证明QP∥BO，即可证明四边形OPQB为等腰梯形；
第（3）小题，根据点P、Q在6s后改变了速度，用改变速度前运动的路程+改变速度后运动的路程即可表示出点P离开点O的路程y₁（cm）与出发后的运动时间x（s）的函数关系式；用总的路程-点Q运动的路程，即可表示出点Q距O的路程y₂（cm）与出发后的运动时间x（s）的函数关系式；点P、Q两点相遇，即y₁=y₂，即可求得相遇时的时间；
（4）根据距离不大于18，可得|y₂-y₁|≤18，解不等式组即可．

解答 解：（1）要使四边形PABC为平行四边形，需满足AP∥BC，且AP=BC，
∵A（10，0），B（4，8），C（0，8），
∴BC=4cm，
∴OP=OA-AP=10-4=6cm，
∴a=6÷1=6s．
此时，${S}_{△OPC}=\frac{1}{2}×6×8=24，m=24c{m}^{2}$，
8s时，${S}_{△OPC}=\frac{1}{2}（6+2b）×8=40$，
∴b=2cm/s．
如图1，过点B作BN⊥OA于点N，在△BMA中，BN=8cm，ON=BC=4cm，
∴AN=10-4=6cm，
∴$AB=\sqrt{A{N}^{2}+B{N}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$cm，
当点P运动6s时，点Q运动到距离点A是2cm的位置，当时间为8s时，△OPC和△OQC的面积相等，即点P和点Q重合，
∴点Q改变速度后，2s运动的距离为2cm，
∴2d=2，d=1cm/s，
d（c-8）=10，c=18s．
（2）如图2，过点O作OM⊥AB于点M；连接PQ．
在△BNA和△OAM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BNA=∠OMA=90°}\\{∠BAN=∠OAM}\\{AB=OA}\end{array}\right.$，
∴△BNA≌△OAM（AAS），
∴AM=AN=6cm，
∴BM=AB-AM=10-6=4cm，
c当点Q运动到点M处时，OQ⊥AB，点Q运动的路程为：BC+BM=4+4=8cm，
∴点Q运动的时间为：8÷2=4s，
∴当Q运动4s时，OQ⊥AB．
当点Q运动4s时，点P运动4s，则点P运动到点N处，
在△AQP和△ABO中，$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AO}$且∠QAP=∠BAO，
∴△AQP∽△ABO，
∴∠AQP=∠AB0，
∴QP∥BO．
又BQ=OP=4cm，
∴四边形OPQB为等腰梯形．
（3）由（1）可以，点P、Q运动6s后改变速度，
∴点P离开点O的路程为：y₁=6+2（x-6）=2x-6；
点Q距离点O的距离为：y₂=24-[12+（x-6）]=18-x，
点P、Q相遇时，y₁=y₂，即2x-6=18-x，解得：x=8s．
（4）根据题意，得|y₂-y₁|≤18，
即-18≤18-x-（2x-6）≤18，
解不等式组，得2≤x≤14．

点评 本题主要考查了特殊四边形、全等三角形、相似三角形及不等式组的综合运用，熟练掌握知识点是解决综合题目的关键；能够读懂3个图是解决此题的关键．