Question

2．已知Rt△ABC≌Rt△CDE；现将它们摆放成图①所示位置，其中B、C、D三点在同一直线上，连接AE．
（1）如图①，若AB=2，BC=4，求AE的长；
（2）如图②，取AE的中点M，连接BM、DM，证明：BM=DM；
（3）如图③，将图①的Rt△CDE以直线CD为对称轴向下翻折，仍然连接AE，取AE的中点M，连接BM、DM，请问：BM=DM还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠DCE，AC=CE，利用角与角之间的数量关系以及直角的性质即可证明AC⊥CE，再利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）连接CM，证明出△ABM≌△CDM，即可得到BM=DM；
（3）延长BM交DE于点N，利用AAS证明△ABM≌△ENM，于是得到BM=MN，再根据直角三角形的性质可得BM=DM．

解答 解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，AC=CE，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠DCE+∠BCA=90°，
∵B，C，D三点共线，
∴∠ACE=180°-（∠DCE+∠BCA）=90°，
∴AC⊥CE，
∴AE²=AC²+CE²，
∵AC²=AB²+BC²，
∴AE=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{5}$=2$\sqrt{10}$；
（2）连接CM，如图②，
∵△ACE是直角三角形，点M是AE的中点，
∴CM=AM=$\frac{1}{2}$AE，
在△ABM和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAM=∠DCM}\\{AM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CDM，
∴BM=DM；
（3）如图③，延长BM交DE于点N，
∵∠ABD=∠CDE=90°，
∴AB∥DE，
∴∠BAM=∠DEM，
在△ABM和△ENM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DEM}\\{∠AMB=∠NME}\\{AM=EM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ENM，
∴BM=MN，
在Rt△BDN中，
∵M是BN的中点，
∴BM=MN=DM=$\frac{1}{2}$BN，
∴BM=DM．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是作辅助线构造两个全等的三角形，此题还需要掌握全等三角形的判定定理，此题难度不大．