Question

7．如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD平分∠BAC，AC=10，S_△ADC=25，求AB和BD的长．

Answer 1

分析 作DE⊥AC，DF⊥AB，CM⊥AB，根据角平分线的性质得出DE=DF，由S_△ADC=25得出DE=5=DF，解直角三角形得出AM=5，CM=BM=5$\sqrt{3}$，AF=5$\sqrt{3}$，进而求得AB=5+5$\sqrt{3}$，BF=5，然后根据勾股定理得出BD=5$\sqrt{2}$．

解答 解：作DE⊥AC，DF⊥AB，CM⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵S_△ADC=25，
∴$\frac{1}{2}$AC•DE=25，
∵AC=10，
∴DE=5=DF，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAD=∠FAD=30°，
∴AF=DF•tan30°=5$\sqrt{3}$，
∵∠ACM=90°-∠BAC=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=5，CM=5$\sqrt{3}$，
∵∠B=∠MCB=45°，
∴BM=CM=5$\sqrt{3}$，
∴AB=5+5$\sqrt{3}$，
∵AF=5$\sqrt{3}$，AF+FB=AB，
∴FB=5，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，解直角三角形以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．