Question

【题目】如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．

（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）

（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（不写求解过程）

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：x=﹣y2+8；

（2）作点A关于点C的对称点点D，连接DB与x轴交于点P，则点P即为所求；

（3）两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是4米．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式；

（2）根据两点之间线段最多，作出相应的图形，写出作法即可；

（3）根据前面的坐标系和抛物线解析式可以求得点B的坐标，再根据三角形相似可以求得两根支柱用料最省时点O、P之间的距离，注意此处只写出答案即可．

解：（1）如右图所示，

由题意可得，点C的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4），点O的坐标为（8，0），

设此抛物线的解析式为：x=ay2+8，

则0=a×42+8，

解得，a=﹣，

即抛物线的解析式为：x=﹣y2+8；

（2）作点A关于点C的对称点点D，连接DB与x轴交于点P，则点P即为所求；

（3）两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是4米．