Question

11．在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P在边BC上，满足∠APD=90°，则∠APB的正切值为2或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质求出∠B=∠C=90°，AB=CD=4，求出∠1=∠3，证△ABP∽△PCD，得出比例式，求出BP，解直角三角形求出即可．

解答
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=4，
∵∠APD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{CP}$=$\frac{BP}{CD}$，
∴$\frac{4}{10-BP}$=$\frac{BP}{4}$，
解得：BP=2或8，
∵tan∠APB=$\frac{AB}{BP}$，
∴∠APB的正切值为2或$\frac{1}{2}$．
故答案为：2或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，能求出BP的长是解此题的关键．