【题目】如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.
(1)图①,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF , 求AE的长;
(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;
②求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE= ,求 的值.
【答案】
(1)
解:如图①,
∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF≌S△DEF,
∵S四边形ECBF=3S△EDF,
∴S△ABC=4S△AEF,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB= =5,
∵∠EAF=∠BAC,
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴ =( )2,即( )2= ,
∴AE= ;
(2)
解:①四边形AEMF为菱形.理由如下:
如图②,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,
∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,
∵MF∥AC,
∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=EM=MF=AF,
∴四边形AEMF为菱形;
②连结AM交EF于点O,如图②,
设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,
∵四边形AEMF为菱形,
∴EM∥AB,
∴△CME∽△CBA,
∴ ,即 = = ,解得x= ,CM= ,
在Rt△ACM中,AM= = = ,
∵S菱形AEMF= EFAM=AECM,
∴EF=2× = ;
(3)
解:如图③,
作FH⊥BC于H,
∵EC∥FH,
∴△NCE∽△NFH,
∴CN:NH=CE:FH,即1:NH= :FH,
∴FH:NH=4:7,
设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,
∵FH∥AC,
∴△BFH∽△BAC,
∴BH:BC=FH:AC,即(4﹣7x):3=4x:4,解得x= ,
∴FH=4x= ,BH=4﹣7x= ,
在Rt△BFH中,BF= =2,
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3,
∴ = .
【解析】本题考查了三角形的综合题:熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质;灵活构建相似三角形,运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长.解决此类题目时要各个击破.(1)先利用折叠的性质得到EF⊥AB,△AEF≌△DEF,则S△AEF≌S△DEF , 则易得S△ABC=4S△AEF , 再证明Rt△AEF∽Rt△ABC,然后根据相似三角形的性质得到 =( )2 , 再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长;(2)①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形;②连结AM交EF于点O,如图②,设AE=x,则EM=x,CE=4﹣x,先证明△CME∽△CBA得到 = = ,解出x后计算出CM= ,再利用勾股定理计算出AM,然后根据菱形的面积公式计算EF;(3)如图③,作FH⊥BC于H,先证明△NCE∽△NFH,利用相似比得到FH:NH=4:7,设FH=4x,NH=7x,则CH=7x﹣1,BH=3﹣(7x﹣1)=4﹣7x,再证明△BFH∽△BAC,利用相似比可计算出x= ,则可计算出FH和BH,接着利用勾股定理计算出BF,从而得到AF的长,于是可计算出 的值.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知关于x的一元二次方程:x2﹣2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若原方程的两个实数根为x1、x2 , 且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2 , 求m的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在2016年龙岩市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错误的是( )
A.平均数为160
B.中位数为158
C.众数为158
D.方差为20.3
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4. 如图2,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.
如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B;…
设游戏者从圈A起跳.
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1;
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2 , 并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将矩形ABCD沿GH对折,点C落在Q处,点D落在E处,EQ与BC相交于F.若AD=8cm,AB=6cm,AE=4cm.则△EBF的周长是cm.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ABCD的对角线交于点O , 以AD为边向外作Rt△ADE , ∠AED=90°,连接OE , DE=6,OE= ,则另一直角边AE的长为( ).
A.
B.2
C.8
D.10
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),点B′恰好落在BC边上,则∠C=
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知正方形ABCD边长为1,∠EAF=45°,AE=AF,则有下列结论:
①∠1=∠2=22.5°;
②点C到EF的距离是 -1;
③△ECF的周长为2;
④BE+DF>EF.
其中正确的结论是 . (写出所有正确结论的序号)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com