Question

【题目】如图所示，线段AB=6cm，C点从P点出发以1cm/s的速度沿AB向左运动，D点从B出发以2cm/s的速度沿AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）

（1）若C，D运动到任意时刻都有PD=2AC，求出P在AB上的位置；
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，若AQ﹣BQ=PQ，求PQ的值；
（3）在（1）的条件下，若C，D运动了一段时间后恰有AB=2CD，这时点C停止运动，点继续在线段PB上运动，M，N分别是CD，PD的中点，求出MN的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据C、D的运动速度知：BD=2PC．

∵PD=2AC，

∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，

∴点P在线段AB上的 处

（2）解：如图1：

∵AQ﹣BQ=PQ，

∴AQ=PQ+BQ；

又∵AQ=AP+PQ，

∴AP=BQ，

∴PQ= AB=2cm；

当点Q'在AB的延长线上时，

AQ′﹣AP=PQ′，

所以AQ′﹣BQ′=PQ=AB=6cm．

综上所述，PQ=2cm或6cm

（3）解：MN的值不变．

理由：如图2，当C点停止运动时，有CD= AB=3cm，

∴AC+BD= AB=3cm，

∴AP﹣PC+BD= AB=3cm，

∵AP= AB=2cm，PC=5cm，BD=10cm，

∵M是CD中点，N是PD中点，

∴MN=MD﹣ND= CD﹣ PD= CP= cm．

【解析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的 处；（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当C点停止运动时，有CD= AB，故AC+BD= AB，所以AP﹣PC+BD= AB，再由AP= AB，PC=5cm，BD=10cm，再根据M是CD中点，N是PD中点可得出MN的长，进而可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了两点间的距离的相关知识点，需要掌握同轴两点求距离，大减小数就为之．与轴等距两个点，间距求法亦如此．平面任意两个点，横纵标差先求值．差方相加开平方，距离公式要牢记才能正确解答此题．