Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）四边形BFCD是菱形．证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；

（3）设DE=x，则根据CE2=DEAE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．

试题解析：（1）∵AD是直径，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

（2）四边形BFCD是菱形．

证明：∵AD是直径，AB=AC，

∴AD⊥BC，BE=CE，

∵CF∥BD，

∴∠FCE=∠DBE，

在△BED和△CEF中

，

∴△BED≌△CEF，

∴CF=BD，

∴四边形BFCD是平行四边形，

∵∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴四边形BFCD是菱形；

（3）∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，

∴CE2=DEAE，

设DE=x，

∵BC=8，AD=10，

∴42=x（10-x），

解得：x=2或x=8（舍去）

在Rt△CED中，

CD=．