Question

15．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为射线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边向上作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出CF、BC、BD三条线段之间的关系为CF=BC+BD；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，求证：BD⊥CF；
（3）如图3，当D在CB延长线上时，如图3所示，连结CE，取CE中点M，连结BM，FM，求证：BM=FM．

Answer 1

分析 （1）当点D在线段BC上时，CF、BC、BD三条线段之间的关系为：CF=BC+BD．首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABD≌△FGA，即可推得AB=FG，且∠AGF=90°；然后判断出四边形BCFG是矩形，即可推得CF=BG=AB+AG，再根据AB=BC，AG=BD，推得CF=BC+BD即可．
（2）首先，延长CB至G使BG=BC，连接AG，然后证明△GAD≌△CAF，据此可判断出∠BCA+∠ACF=90°，即可推得BD⊥CF．
（3）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABD≌△DHE，即可推得AB=DH，BD=HE；然后判断出△EHC是等腰直角三角形，再根据全等三角形判定的方法，判断出△ADH≌△FAB，即可推得AH=BF，∠AHD=∠FBA；再判断出△BAH≌△CBF，即可推得HB=CF，∠BCF=∠ABH=90°，∠FCM=45°；最后根据全等三角形判定的方法，判断出△BHM≌△FCM，即可推得BM=FM．

解答 （1）解：CF、BC、BD三条线段之间的关系为：CF=BC+BD．
如图1，延长BA至G，使AG=BD，连接FG，

∵∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠BDA=90°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠BAD+∠GAF=90°，
∴∠BDA=∠GAF，
在△ABD和△FGA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=GA}\\{∠BDA=∠GAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FGA，
∴AB=FG，且∠AGF=90°，
又∵AB=BC，
∴BC=FG，FG⊥BG，
又∵BC⊥BG，
∴FG∥BC，
∴四边形BCFG是矩形，
∴CF=BG=AB+AG，
又∵AB=BC，AG=BD，
∴CF=BC+BD．
（2）证明：如图2所示，延长CB至G使BG=BC，连接AG，
∵∠ABC=90°，BG=BC，AB=BC，
∴AG=AC，∠G=∠ACB=45°，∠GAC=90°，
∴∠GAD=∠GAC+∠CAD，∠CAF=∠CAD+∠DAF，
∴∠GAD=∠CAF，
在△GAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}\\{∠GAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠G=45°，
∴∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°，
∴BD⊥CF．
（3）证明：如图3，作EH⊥BD于点H，

∵EH⊥BD，
∴∠EHD=90°，
∴∠EDH+∠DEH=90°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∴∠ADB+∠EDH=90°，
∴∠ADB=∠DEH，
在△ABD和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠DEH}\\{∠ABD=∠DHE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DHE，
∴AB=DH，BD=HE，
又∵AB=BC，
∴BC=DH，
∴CH=BD，
又∵BD=HE，
∴CH=HE，
∴△EHC是等腰直角三角形，
∴∠HCE=∠HEC=45°，
又∵M是CE的中点，
∴HM⊥CE，且HM=CM=EM，
∴∠HMC=90°，∠CHM=90°-45°=45°．
∵∠ADH+∠DAB=90°，∠FAB+∠DAB=90°，
∴∠ADH=∠FAB，
在△ADH和△FAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=FA}\\{∠ADH=∠FAB}\\{DH=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△FAB，
∴AH=BF，∠AHD=∠FBA，
∴∠BAH+∠ABH=∠CBF+∠ABC，
∴∠BAH=∠CBF，
在△BAH和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAH=∠CBF}\\{AH=BF}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△CBF，
∴HB=CF，∠BCF=∠ABH=90°，
∴∠FCM=90°-45°=45°，
在△BHM和△FCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{HB=CF}\\{∠BHM=∠FCM}\\{HM=CM}\end{array}\right.$，
∴△BHM≌△FCM，
∴BM=FM．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了空间想象的能力的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．