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【题目】如图,在RtABC中,∠B90°,AC40cm,∠A60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点DE运动的时间是t秒(0t10),过点DDFBC于点F,连接DEEF

1)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;

2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.

【答案】1)能,当t秒时,四边形AEFD为菱形,见解析;(2)当t85秒时,△DEF为直角三角形,见解析.

【解析】

1)能.首先证明四边形AEFD为平行四边形,当AEAD时,四边形AEFD为菱形,即404t2t,解方程即可解决问题;

2)分三种情形讨论即可.

1)证明:能.

理由如下:在DFC中,∠DFC90°,∠C30°DC4t

DF2t

又∵AE2t

AEDF

ABBCDFBC

AEDF

又∵AEDF

∴四边形AEFD为平行四边形,

AEAD时,四边形AEFD为菱形,

404t2t,解得t

∴当t秒时,四边形AEFD为菱形.

2)①当∠DEF90°时,由(1)知四边形AEFD为平行四边形,

EFAD

∴∠ADE=∠DEF90°

∵∠A60°

∴∠AED30°

ADAEt

AD404t,即404tt,解得t8

②当∠EDF90°时,四边形EBFD为矩形,在RtAED中∠A60°,则∠ADE30°

AD2AE,即404t4t,解得t5

③若∠EFD90°,则EB重合,DA重合,此种情况不存在.

综上所述,当t85秒时,DEF为直角三角形.

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