【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=40cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤10),过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)能,当t=秒时,四边形AEFD为菱形,见解析;(2)当t=8或5秒时,△DEF为直角三角形,见解析.
【解析】
(1)能.首先证明四边形AEFD为平行四边形,当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,即40﹣4t=2t,解方程即可解决问题;
(2)分三种情形讨论即可.
(1)证明:能.
理由如下:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,
∴DF=2t,
又∵AE=2t,
∴AE=DF,
∵AB⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF,
又∵AE=DF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,
即40﹣4t=2t,解得t=.
∴当t=秒时,四边形AEFD为菱形.
(2)①当∠DEF=90°时,由(1)知四边形AEFD为平行四边形,
∴EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°,
∵∠A=60°,
∴∠AED=30°,
∴AD=AE=t,
又AD=40﹣4t,即40﹣4t=t,解得t=8;
②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,在Rt△AED中∠A=60°,则∠ADE=30°,
∴AD=2AE,即40﹣4t=4t,解得t=5.
③若∠EFD=90°,则E与B重合,D与A重合,此种情况不存在.
综上所述,当t=8或5秒时,△DEF为直角三角形.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1x2+y1y2=0,且A,B均不为原点,则称A和B互为正交点.比如:A(1,1),B(2,﹣2),其中1×2+1×(﹣2)=0,那么A和B互为正交点.
(1)点P和Q互为正交点,P的坐标为(﹣2,3),
①如果Q的坐标为(6,m),那么m的值为多少;
②如果Q的坐标为(x,y),求y与x之间的关系式;
(2)点M和N互为正交点,直接写出∠MON的度数;
(3)点C,D是以(0,2)为圆心,半径为2的圆上的正交点,以线段CD为边,构造正方形CDEF,圆心F在正方形CDEF的外部,求线段OE长度的取值范围.
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【题目】某超市在端午节期间开展优惠活动,凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠,本次活动共有两种方式,方式一:转动转盘甲,指针指向A区域时,所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠;方式二:同时转动转盘甲和转盘乙,若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同,所购买物品享受8折优惠,其它情况无优惠.在每个转盘中,指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线,则重新转动转盘)
(1)若顾客选择方式一,则享受9折优惠的概率为多少;
(2)若顾客选择方式二,请用树状图或列表法列出所有可能,并求顾客享受8折优惠的概率.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点C'处,连接C'D交AB于点E,连接BC',当△BC'D是直角三角形时,DE的长为_________.
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【题目】如图所示,抛物线m:与x轴于点A、点A在点B的左侧,与y轴交于点将抛物线m绕点B旋转,得到新的抛物线n,它的顶点为,与x轴的另一个交点为.
当,时,求抛物线n的解析式;
求证:四边形是平行四边形;
当时,四边形可能是矩形吗?若能,请求出抛物线m的解析式;若不能,请说明理由.
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【题目】在Rt△ABC中,∠BAC=30°,斜边AB=2,动点P在AB边上,动点Q在AC边上,且∠CPQ=90°,则线段CQ长的最小值=__________ .
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【题目】如图,抛物线与直线交于A,B两点,交x轴于D,C两点,已知,.
求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴;
在直线AB下方的抛物线上是否存在一点E,使得的面积最大?如果存在,求出E点坐标;如果不存在,请说明理由.
为抛物线上一动点,连接PA,过点P作交y轴于点Q,问:是否存在点P,使得以A、P、Q为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图:007渔船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若007渔船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到渔船C在东北方向上.问:007渔船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近?
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