Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+y1y2＝0，且A，B均不为原点，则称A和B互为正交点．比如：A（1，1），B（2，﹣2），其中1×2+1×（﹣2）＝0，那么A和B互为正交点．

（1）点P和Q互为正交点，P的坐标为（﹣2，3），

①如果Q的坐标为（6，m），那么m的值为多少；

②如果Q的坐标为（x，y），求y与x之间的关系式；

（2）点M和N互为正交点，直接写出∠MON的度数；

（3）点C，D是以（0，2）为圆心，半径为2的圆上的正交点，以线段CD为边，构造正方形CDEF，圆心F在正方形CDEF的外部，求线段OE长度的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①m＝4，②y＝x；（2）∠MON＝90°；（3）符合条件的OE的范围为：2﹣2≤OE≤2+2．

【解析】

（1）①②根据互为正交点的定义，列出方程即可解决问题；

（2）设M（m，n），N（p，q），推出直线OM的解析式为y＝x，直线ON的解析式为y＝x，由点M和N互为正交点，可得mp+nq＝0，推出kOMkON＝＝﹣1即可解决问题；

（3）如图1中，连接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．寻找特殊位置，求出OE的最大值以及最小值即可．

（1）①由题意：﹣2×6+3m＝0，

解得m＝4，

故答案为4．

②由题意：﹣2x+3y＝0，

∴y＝x．

（2）设M（m，n），N（p，q），

∴直线OM的解析式为y＝x，直线ON的解析式为y＝x，

∵点M和N互为正交点，

∴mp+nq＝0，

∴kOMkON＝＝﹣1，

∴OM⊥ON．

∴∠MON＝90°．

（3）如图1中，连接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．

由题意DF＝CF＝2，CD＝DE＝2，DQ＝QC＝FQ＝，

∵FQ∥DE，

∴QH：DH＝FQ：DE＝FH：EH＝1：2，

∴HQ＝，FH＝，

∴EH＝2FH＝，

∴EF＝FH+EH＝2，

在△OFE中，EF﹣OF≤OE≤EF+OF，

∴当点E在y轴的正半轴上时，O、F、E共线，此时OE的值最大，最大值为2+2．

∵原点O在正方形CDEF的外部，

∴当点E在y轴负半轴上时，OE的值最小，最小值为2﹣2．

∴符合条件的OE的范围为：2﹣2≤OE≤2+2．