Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP²=PE•PF．

Answer 1

分析：要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相似，须根据已知与图形找条件就可．

解答：证明：连接PC，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD是△ABC的对称轴．
∴PC=PB，∠PCE=∠ABP．
∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP（两直线平行，内错角相等），
∴∠PCE=∠PFC．
又∵∠CPE=∠EPC，
∴△EPC∽△CPF．
∴

PC

PE

=

PF

PC

（相似三角形的对应边成比例）．
∴PC²=PE•PF．
∵PC=BP
∴BP²=PE•PF．

点评：证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一，本题主要考查的是相似三角形性质的应用．