Question

17．已知：反比例函数的图象经过A（$\frac{1}{a}$，$\frac{2}{a}$），B（$\frac{2a}{a-1}$，-$\frac{1-a}{a}$）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C（m，1）在此函数图象上，则△ABC的面积是3．（填空）

Answer 1

分析 （1）反比例函数图象上所有点的横、纵坐标的乘积为定值k（k≠0）；
（2）根据题意求得点A、B、C的坐标，由此得到△ABC为直角三角形，所以由直角三角形的面积公式进行解答即可．

解答 解：（1）设该反比例函数解析式为：y=$\frac{k}{x}$（k≠0）．
∵反比例函数的图象经过点B（$\frac{2a}{a-1}$，-$\frac{1-a}{a}$）．
∴依题意得：k=$\frac{2a}{a-1}$×（-$\frac{1-a}{a}$）=2．
则该反比例函数的解析式为：y=$\frac{2}{x}$．

（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．则$\frac{1}{a}$×$\frac{2}{a}$=2，
解得a=-1或a=1（舍去），
则A（-1，-2），B（1，2）．
把点C（m，1）代入函数解析式，得1=$\frac{2}{m}$，即m=2．
故C（2，1），
∴AB=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（-2-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
AC=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（-2-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
BC=$\sqrt{（1-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=3．
故答案是：3．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例图象上横纵坐标的积是定值k．