Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC＝3，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长．

Answer 1

【答案】（1）直线DE是⊙O的切线，见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，根据线段垂直平分线的性质得ED＝EB，则∠EDB＝∠B，结合∠A＝∠ODA，利用等量代换计算出∠ODE＝90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）作OH⊥AD于H，则AH＝DH，利用∠A的正弦可计算出OH＝，则AH＝，AD＝2AH＝，进而得BF＝，然后利用∠B的余弦计算出EB，从而得到ED的长．

连接OD，

∵EF垂直平分BD，

∴ED＝EB，

∴∠EDB＝∠B，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，

∵∠A+∠B＝90°，

∴∠ODA+∠EDB＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB=5，

作OH⊥AD于H，

∵OA＝OD，

∴AH＝DH，

∵在Rt△OAB中，sinA＝＝，

∴在Rt△OAH中，sinA＝，

∴OH＝，

∴AH＝＝，

∴AD＝2AH＝，

∴BD＝5﹣＝，

∴BF＝BD＝，

∵在Rt△ABC中，cosB＝，

在Rt△BEF中，cosB＝＝，

∴BE＝×＝，

∴DE= BE= ．