Question

如图，△ABC中，M是其内一点，∠ABC=60°，∠MBC=20°，CM平分∠ACB，且∠ACB=20°，求∠BAM的度数．

Answer 1

解：如图，过B在三角形外作∠ABN=20°，使BN交CA的延长线于N，连接MN，
∵∠ABC=60°，∠MBC=20°，
∴∠NBC=∠ABC+∠ABN=60°+20°=80°，
∠BNC=180°-∠ACB-∠NBC=180°-20°-80°=80°，
∴∠BNC=∠NBC，
∴BC=NC，
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
在△NMC与△BMC中，，
∴△NMC≌△BMC（SAS），
∴∠ANM=∠MBC=20°，
又∵∠MBN=∠ABC-∠MBC+∠ABN=60°-20°+20°=60°，
∠BNM=∠BNC-∠ANM=80°-20°=60°，
∴∠MBN=∠BNM=60°，
∴△BMN是等边三角形，BM=BN，
又∠BAN=180°-∠BNC-∠ABN=180°-80°-20°=80°，
∴∠NBC=∠BAN，
∴BA=BN，
∴BA=BM，
∵∠ABM=∠ABC-∠MBC=60°-20°=40°，
∴∠BAM=（180°-∠ABM）=（180°-40°）=70°．
故答案为：70°．
分析：过B在三角形外作∠ABN=20°，且使BN交CA的延长线于N，通过计算可得∠BNC=∠NBC=80°，根据等角对等边得到BC=NC，然后证明△NMC与△BMC全等，根据全等三角形的对应角相等，∠MNC=∠MBC=20°，求出∠BNM=60°，从而证明△BMN是等边三角形，再根据计算数据∠ANB=∠BAN=80°，所以BA=BN，进而得到△ABM是等腰三角形，BA=BM，根据等腰三角形两底边相等求解即可．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形以及等腰三角形是解题的关键，计算数据的巧合也是本题的一大特点，本题难度较大．