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【题目】如图,已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数 图象于点A,B,交x轴于点C.

(1)求m的取值范围;
(2)若点A的坐标是(1,﹣4),且 ,求m的值和一次函数的解析式;
(3)在(2)的情况下,请直接写出不等式 的解集.

【答案】
(1)解:因为反比例函数 的图象在第四象限,

所以4﹣2m<0,解得m>2.


(2)解:因为点A(1,﹣4)在函数 图象上,

所以﹣4=4﹣2m,解得m=4.

过点A、B分别作AM⊥OC于点M,BN⊥OC于点N,

所以∠BNC=∠AMC=90°,

又因为∠BCN=∠ACM,

所以△BCN∽△ACM,所以

因为 ,所以 ,即

因为AM=4,所以BN=1.

所以点B的纵坐标是﹣1.

因为点B在反比例函数 的图象上,所以当y=﹣1时,x=4.

所以点B的坐标是(4,﹣1).

因为一次函数y=kx+b的图象过点A(1,﹣4)、B(4,﹣1),

所解得

解得:k=1,b=﹣5

所以一次函数的解析式是y=x﹣5;


(3)解:由函数图象可知不等式 的解集为:0<x<1 或 x>4.
【解析】(1)根据双曲线位于第四象限可得到比例系数k<0,即4-2m<0,然后解关于m的不等式即可;
(2)先把点A的坐标代入反比例函数表达式客求出m的值,接下来,再证明△BCN∽△ACM,依据相似三角形的性质可求得BN=1,然后将y=-1代入反比例函数的解析式可求得点B的横坐标,最后由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式;
(3)依据函数图像确定出一次函数图像位于反比例函数图像上方时,自变量的取值范围即可.

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