Question

【题目】如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于G，交CD于H．在下列结论中：
①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH ，
其中正确的结论有（ ）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如图，连接AC、以D为圆心DA为半径画圆．

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC=AB=BC，∠ADC=∠B=∠DCB=90°，∠ACD=∠DAC=45°

∵△DEF是由△DEA翻折得到，

∴DA=DF=DC，EA=EF，∠AED=∠DEF，

∴∠AFC= ∠ADC=45°

∴∠EFA=∠EAF=45°，

∴∠AEF=90°，

∴∠DEF=∠DEA=45°，

∵EA=ED=EF，

∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°，

∴∠DAF=∠DFA=22.5°，

∴∠ADF=180°﹣∠DAF﹣∠DFA=135°，

∴∠CDF=∠ADF﹣∠ADC=45°，

∴∠DCF=180°﹣∠CDF﹣∠DFC=67.5°，

∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°，

∴∠HCF=∠FHC，

∴△CFH是等腰三角形，故③正确．②错误，

∵∠ACD=∠CDF，

∴AC∥DF，

∴S△DFA=S△FDC，

∴S△ADH=S△CHF，故⑤正确，

∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠BAM=∠CDN，

在△ABM和△DCN中，

，

∴△ABM≌△DCN，故①正确，

在△EAF中，∵∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，

∴CE=CK＜CF，

∴CE≠CF故④错误．

∴①③⑤正确，

选B．

【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．