【题目】（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，则AB的长度为 ；
（2）如图②，⊙O的半径为16，弦AB＝16，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值；
（3）如图③，在△ABC中AB＝AC＝8，∠CAB＝120°，D是BC的中点，E是平面内一点，且ED＝2，连接BE，将EB绕点E逆时针旋转120°，得到EB′，连接CB′、BB′，四边形ABB′C的面积是否存在最大值，若存在，求出四边ABB′C的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4
；（2）PM的最大值为16+8．（3）存在，四边形ABB′C的面积的最大值＝24+40．
【解析】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AB即可．
（2）如图2中，连接OA，OB，OM，OP．首先证明△OAB是等边三角形，再根据PM≤OP+OM求出OM即可解决问题．
（3）如图3中，连接AD，AE，作DH⊥AB于H．首先证明△ABE∽△CBB′，推出△ABE的面积最大时，△CBB′的面积最大，此时四边形ABB′C的面积最大，求出△AEB的面积的最大值即可解决问题．
解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝
BC＝6，∠B＝∠C＝30°，
在Rt△ABH中，AB＝
故答案为4．
（2）如图2中，连接OA，OB，OM，OP．
∵OA＝OB＝AB＝16，
∴△OAB是等边三角形，
∵AM＝BM，
∴OM⊥AB，
OM＝OAsin60°＝8，
∵PM≤OM+OP，
∴PM≤16+8，
∴PM的最大值为16+8．
（3）如图3中，连接AD，AE，作DH⊥AB于H．
∵AC＝AB＝8，∠CAB＝120°，CD＝DB，
∴AD⊥BC，∠DAB=∠CAB＝60°，
∴AD＝ABcos60°＝4，DH＝ADsin60°＝2，
∵△ABC，△EBB′都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠ABC＝∠EBB
，
∴∠ABE＝∠CBB′，
∴△ABE∽△CBB′，
∴△ABE的面积最大时，△CBB′的面积最大，此时四边形ABB′C的面积最大，
∵DE＝2，
∴点E的运动轨迹是以D为圆心DE为半径的圆上运动，
当点E在HD的延长线上时，EH＝2+2，且EH⊥AB，此时△ABE的面积最大，最大面积＝×8×（2+2）＝8+8．
∵
，
∴△CBB′的面积的最大值＝24+24，
∴四边形ABB′C的面积的最大值＝×8×4+24+24＝24+40．
黄冈冠军课课练系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=3
，求弦AD的长．
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【题目】在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（4，0），点 B（0，3），把△ABO 绕点 B 逆时针旋转，得△A′BO′，点 A、O 旋转后的对应点为 A′、O′，记旋转角为ɑ．
(1)如图 1，若ɑ＝90°，求 AA′的长；
(2)如图 2，若ɑ＝120°，求点 O′的坐标．
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【题目】市面上贩售的防晒产品标有防晒指数
，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率
，其中
．
请回答下列问题：
（1）厂商宣称开发出防护率
的产品，请问该产品的应标示为多少？
（2）某防晒产品文宣内容如图所示．
请根据与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由．
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【题目】如图是某路灯在铅锤面内的示意图，灯柱AC的高为15.25米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为22米，从D、E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝8，tanβ＝
，求灯杆AB的长度．
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【题目】如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB＝6m，建立如图所示的坐标系．
（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）
（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？
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【题目】在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4.从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题.
(1)按这种方法组成两位数45是_____事件，填(“不可能”、“随机”、“必然”)
(2)组成的两位数能被3整除的概率是多少？
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【题目】已知抛物线
（其中
、
为常数且
）与
轴交于
和
两点，与
轴交于点
.
（1）当
时，求抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（2）填空：
__________，点的坐标为____________.（以上结果均用含的式子表示）；
（3）连接
，线段的垂直平分线交抛物线的对称轴于点
，轴上存在一点
（异于点）使得
.
①求点的坐标；
②点关于抛物线对称轴的对称点为点
，试求
面积的最大值.
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