【题目】如图是某路灯在铅锤面内的示意图,灯柱AC的高为15.25米,灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域DE长为22米,从D、E两处测得路灯B的仰角分别为α和β,且tanα=8,tanβ=,求灯杆AB的长度.
【答案】灯杆AB的长度为1.5米.
【解析】
过点B作BF⊥CE,交CE于点F,过点A作AG⊥BF,交BF于点G,则FG=AC=15.25.设BF=4x知EF=5x、DF= ,由DE=22求得x,据此知BG=BF-GF,再求得∠BAG=∠BAC-∠CAG=30°可得AB=2BG.
解:过点B作BF⊥CE,交CE于点F,过点A作AG⊥BF,交BF于点G,则FG=AC=15.25.
由题意得∠BDE=α,tan∠β=.
设BF=3x,则EF=4x
在Rt△BDF中,∵tan∠BDF=,
∴DF= ,
∵DE=22,
∴x+5x=22.
∴x=4.
∴BF=16,
∴BG=BF﹣GF=16﹣15.25=0.75,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°.
∴AB=2BG=1.5,
答:灯杆AB的长度为1.5米.
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【题目】如图,等腰直角△ABC中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜边BC于D,则阴影部分面积为(结果保留π)( )
A. 16 B. 24-4π C. 32-4π D. 32-8π
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【题目】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少20件.
问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元?
当售价定为多少时,获得最大利润;最大利润是多少?
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+mx+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(1,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)在抛物线的对称轴l上找一点P,使PA+PC的值最小,求出点P的坐标
(3)在第二象限内的抛物线上,是否存在点M,使△MBC的面积是△ABC面积的?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= °;
(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.
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【题目】(1)如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=12,则AB的长度为 ;
(2)如图②,⊙O的半径为16,弦AB=16,M是AB的中点,P是⊙O上一动点,求PM的最大值;
(3)如图③,在△ABC中AB=AC=8,∠CAB=120°,D是BC的中点,E是平面内一点,且ED=2,连接BE,将EB绕点E逆时针旋转120°,得到EB′,连接CB′、BB′,四边形ABB′C的面积是否存在最大值,若存在,求出四边ABB′C的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;
(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售价x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,则当天该水果的销售量 千克.
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?
(3)当售价定为多少元时,当天销售这种水果获利最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,1),B(1,-2),C(3,-1),P(m,n)是△ABC的边AB上一点.
(1)画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称,并写出点A、P的对应点A1、P1的坐标.
(2)以原点O为位似中心,位似比为1:2,在y轴的左侧,画出将△A1B1C1放大后的△A2B2C2,并分别写出点A1、P1的对应点A2、P2的坐标.
(3)求sin∠B2A2C2的值.
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