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【题目】我们知道:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.你可以利用这一结论解决问题:

如图,点P在以MN(南北方向)为直径的O上,MN=8,PQMN交O于点Q,垂足为H,PQMN,弦PC、PD分别交MN于点E、F,且PE=PF.

(1)比较的大小;

(2)若OH=2,求证:OPCD;

(3)设直线MN、CD相交所成的锐角为α,试确定cosα=时,点P的位置.

【答案】(1) =;(2)点P到MN的距离为2

【解析】

试题分析:(1)根据等腰三角形的性质,由PE=PF,PHEF可判断PH平分FPE,然后根据圆中角定理得到=;(2)连结CD、OP、OQ,OQ交CD于B,如图,先计算出PH=2,则可判断OPH为等腰直角三角形得到OPQ=45°,再判断OPQ为等腰直角三角形得到POQ=90°,然后根据垂径的推理由=得到OQCD,则根据平行线的判定方法得OPCD;(3)直线CD交MN于A,如图,由特殊角的三角函数值得α=30°,即直线MN、CD相交所成的锐角为30°,利用OBCD得到AOB=60°,则POH=60°,然后在RtPOH中利用正弦的定义计算出PH即可.

试题解析:(1)解:PE=PF,PHEF,

PH平分FPE,

∴∠DPQ=CPQ,

=

(2)证明:连结CD、OP、OQ,OQ交CD于B,如图,

OH=2,OP=4,

PH==2

∴△OPH为等腰直角三角形,

∴∠OPQ=45°,

而OP=OQ,

∴△OPQ为等腰直角三角形,

∴∠POQ=90°,

OPOQ,

=

OQCD,

OPCD;

(3)解:直线CD交MN于A,如图,

cosα=

∴∠α=30°,即直线MN、CD相交所成的锐角为30°,

而OBCD,

∴∠AOB=60°,

OHPQ,

∴∠POH=60°,

在RtPOH中,sinPOH=

PH=4sin60°=2

即点P到MN的距离为2

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