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【题目】如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为AB的中点,DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数;
(2)如果 ,求DE的长.

【答案】
(1)解:∵E为AB的中点,DE⊥AB,

∴AD=DB,

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD,

∴AD=DB=AB,

∴△ABD为等边三角形.

∴∠DAB=60°.

∵菱形ABCD的边AD∥BC,

∴∠ABC=180°﹣∠DAB=180°﹣60°=120°,

即∠ABC=120°


(2)解:∵四边形ABCD是菱形,

∴BD⊥AC于O,AO= AC= ×4 =2

由(1)可知DE和AO都是等边△ABD的高,

∴DE=AO=2


【解析】(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,再根据菱形的四条边都相等可得AB=AD,然后求出AB=AD=BD,从而得到△ABD是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出△DAB=60°,然后根据两直线平行,同旁内角互补求解即可;(2)根据菱形的对角线互相平分求出AO,再根据等边三角形的性质可得DE=AO.

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