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    已知：如图，在平面直角坐标系O中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E.

    （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

    （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

    （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

     

    【答案】

    （1）；（2）EF=GO成立；（3）Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）

    【解析】

    试题分析：（1）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式；

    （2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；

    （3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．

    （1）由已知，得C（3，0），D（2，2），

    ∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，

    ∴AD=BC．AD=2．

    ∴E（0，1）

    设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．

    将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，得

    （2）EF=2GO成立．

    ∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，

    ∴点M的纵坐标为

    设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0），将点D、M的坐标分别代入

    ∴DM的解析式为

    ∴F（0，3），EF=2．

    过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK

    ∵∠ADK=∠FDG=90°，

    ∴∠FDA=∠GDK．

    又∵∠FAD=∠GKD=90°，

    ∴△DAF≌△DKG．

    ∴KG=AF=1．

    ∵OC=3，

    ∴GO=1．

    ∴EF=2GO；

    （3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），

    则设P（t，2）．

    ∴PG2=（t-1）2+22，PC2=（3-t）2+22，GC=2．

    ①PG=PC，则（t-1）2+22=（3-t）2+22，

    解得t=2．

    ∴P（2，2），此时点Q与点P重合，

    ∴Q（2，2）．（9分）

    ②若PG=GC，则（t-1）2+22=22，

    解得t=1，

    ∴P（1，2），

    此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，

    ∴点Q的纵坐标为，

    ∴Q（1，）

    ③若PC=GC，则（3-t）2+22=22，解得t=3，

    ∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．

    过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，

    ∴Q（h+1，h）．

    解得h1=，h2=-2（舍去）．

    ∴Q（，）．

    综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．

    考点：二次函数的综合题

    点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

     

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    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶
    8，9，10，11或12
    8，9，10，11或12
    个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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    （3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

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    （1）求出点C的坐标；
    （2）在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形？请说明理由。若
    用y表示四边形OPEM的面积 ，直接写出y关于t的函数关系式及t的
    范围；并求出当四边形OPEM的面积y的最大值？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某个t值，使⊿MPB为等腰三角形？
    若有，请求出所有满足要求的t值.

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    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶______个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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