【题目】如图,正方形的对角线交于点,直角三角形绕点按逆时针旋转,
(1)若直角三角形绕点逆时针转动过程中分别交两边于两点
①求证:;
②连接,那么有什么样的关系?试说明理由
(2)若正方形的边长为2,则正方形与两个图形重叠部分的面积为多少?(不需写过程直接写出结果)
【答案】(1)①见解析;②垂直且相等,理由见解析;(2)面积为1。
【解析】
(1)①证出△DOM≌∠CON,证出;
②证明△MDC≌△BCN得CM=BN,证明△GCN∽△MDC得BN⊥CM;
(2)因为△DOM≌∠CON,所以正方形与两个图形重叠部分为△DOC的面积.
(1)①∵正方形的对角线交于点
∴∠ADO=∠ACD OD=OC ∠DOC=90°
②∵ ∠DOC=90°
∴∠MOD+∠DON=90° ,∠NOD+∠CON=90°
∴∠DOM=∠CON
∵∠DOM=∠CON ∠ADO=∠ACD OD=OC
∴△DOM≌∠CON
∴
②
设BN交CM于点G
∵正方形ABCD
∴DC=BC ∠ADC=∠DCB
∵△DOM≌∠CON
∴DM=CN
∴△MDC≌△BCN
∴CM=BN ∠CMD=∠BNC
∵∠CMD=∠BNC ∠MCD=∠MCD
∴△GCN∽△MDC
∴∠NGC=∠ADC
∴BN⊥CM
∴垂直且相等
(2)面积为1.
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【题目】己知,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A,B的横坐标分别为1和2,与y轴的交点是C.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若点D是y轴上的一点,是否存在D,使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点C作CE∥x轴,与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E,点H是该二次函数图象上的动点,过点H作HF∥y轴,交线段BC于点F,试探究当点H运动到何处时,△CHF与△HFE的面积之和最大,求点H的坐标及最大面积.
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【题目】有理数运算:
(1)﹣13+28+62﹣77
(2)4﹣4+(﹣3)×(﹣)
(3)﹣12006+[1﹣(2﹣22)×3]+(﹣1)2016
(4)(﹣6)×(﹣)×(﹣8)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2.若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,下图①为点P,Q的“相关矩形”的示意图.
已知点A的坐标为(1,0),
(1)若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;
(2)点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;
(3)若点D的坐标为(4,2),将直线y=2x+b平移,当它与点A,D的“相关矩形”没有公共点时,求出b的取值范围.
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【题目】某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0.每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比.经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12)符合关系式x=2n2﹣2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据
月份n(月)1 | 1 | 2 |
成本y(万元/件) | 11 | 12 |
需求量x(件/月) | 120 | 100 |
(1)直接写出k的值;
(2)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;
(3)推断是否存在某个月既无盈利也不亏损.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=6,OC=2,一条动直线l分别与BC、OA将于点E、F,且将矩形OABC分为面积相等的两部分,则点O到动直线l的距离的最大值为_____.
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【题目】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶
点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图(3),
则三角板的最大边的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】有一个n位自然数能被x0整除,依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除,再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除,按此规律轮换后, 能被x0+3整除,…, 能被x0+n﹣1整除,则称这个n位数是x0的一个“轮换数”.
例如:60能被5整除,06能被6整除,则称两位数60是5的一个“轮换数”;
再如:324能被2整除,243能被3整除,432能被4整除,则称三位数324是2的一个“轮换数”.
(1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍,求证这个两位自然数一定是“轮换数”.
(2)若三位自然数是3的一个“轮换数”,其中a=2,求这个三位自然数.
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【题目】如图,点E在正方形ABCD的边AB上,连接DE,过点C作CF⊥DE于F,过点A作AG∥CF交DE于点G.
(1)求证:△DCF≌△ADG.
(2)若点E是AB的中点,设∠DCF=α,求sinα的值.
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