Question

【题目】如图 ，在平面直角坐标系中 ，已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)

的图象经过 A（-1，0），B（3，0），C（6，4）三点.

（1）求此二次函数解析式和顶点 D 的坐标；

（2）①E为抛物线对称轴上一点，过点E作FG//x 轴，分别交抛物线于F、G两点 ，若，求点E的坐标；

② 若抛物线对称轴上点 H 到直线 BC 的距离等于点 H 到 x 轴的距离，则求出点 H

的坐标；

（3）在（2）的条件下，以点I（1，）为圆心，IH 的长为半径作⊙I，J 为⊙I上的动点,求是否存在一个定值，使得 CJ+EJ 的最小值是若不存在，请说明理由.若存在，请求出的值；

Answer 1

【答案】（1）y=（x+1）（x-3），对称轴为x=1，顶点坐标D（1，）（2）、.（3）存在定值，使得

【解析】分析：用待定系数法求出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可.

分两种情况进行讨论即可.

假设存在，在对称轴上取点K（1，3），则，,故 ，证明△IJE∽△IKJ，得到，即，

从而，当且仅当K、J、C三点共线时，取得最小值.

详解：（1）设抛物线解析式为，则有

，解得，

故抛物线解析式为，对称轴为，顶点坐标D（1，）.

（2）①设E（1，t），则有

，

即

故 ，

即，由，解得，

∴，解得，故E（1，）.

②如图，作∠ABC的平分线与对称轴x=1的交点即为符合题意的H点，记为H1；

在x轴上取点R（-2,0），连结RC交∠ABC的平分线BH1于Q，则有RB=5；

过点C作CN⊥x轴交x轴于点N，

在Rt△BCN中，∵BN=3，CN=4，∴BC=5，∴BC=RB，

在△BCR中，∵BC=RB，BQ平分∠ABC，

∴Q为RC中点

∵R(-2，0),C(6，4) ∴Q（2,2），

∵B（3，0），∴过点B、Q两点的

一次函数解析式为

当x=1时，y=4. 故H1（1，4）

如图，过点B作交对称轴于点H2，则点H2符合题意，记对称轴于x轴交于点T.

∵即

∵，

∵∠BTH2=∠H1TB,∴Rt△BTH2∽Rt△H1TB，

∴即

解得即H2（1，-1）

综上，、.

（3）存在定值，使得. 理由如下：

如图，在对称轴上取点K（1，3），则

，,

故 ，∵∠JIE=∠KIJ,

∴△IJE∽△IKJ，

∴，即，

从而，当且仅当K、J、C三点共线时， ，即，

故存在定值，使得.