Question

3．在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据线段中点的定义可得AE=DE，根据两直线平行，内错角相等可得∠EAF=∠EDB，然后利用“角边角”证明△AEF和△DEB全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AF=BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AD=BD=CD，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形ADCF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

解答 （1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
在△AEF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EDB}\\{AE=DE}\\{∠AEF=∠DEB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（ASA）；

（2）解：△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形．
理由如下：∵△AEF≌△DEB，
∴AF=BD，
∵△ABC是直角三角形，D是BC的中点，
∴AD=BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握三角形全等的判定以及菱形的判定方法是解题的关键．