Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

（1）若点N在BC之间时，如图：

①求证：∠NPQ＝∠PQN；

②请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②是定值，理由见解析；（2）AP＝6

【解析】分析：(1)、①由矩形的性质证明△APM≌△QDM就可以得出PPM=QM，再由MN⊥PQ就可以得出结论；②作ME⊥BC于E，证明△AMP∽△EMN，由相似三角形的性质既可以求出PM与MN的关系，再由勾股定理表示出PN就可以求出结论；(2)、分两种情况，如图2，如图3，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，通过证明Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△QCN，进一步由全等三角形的性质就可以得出结论．

详解：解（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°，

AB//CD，∴∠APM＝∠DQM， ∵M是AD边的中点，∴AM＝DM，

在△APM和△DQM中，，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，

∵MN⊥PQ，∴MN是线段PQ的垂直平分线，∴PN＝QN，∴∠NPQ＝∠PQN；

②解：是定值

理由：如图①，过点M作ME⊥BC于点E，∴∠MEN＝∠MEB＝∠AME＝90°，

∴四边形ABEM是矩形，∠MEN＝∠MAP，∴AB＝EM，

∵MN⊥PQ，∴∠PMN＝90°，∴∠PMN＝∠AME，

∴∠PMN－∠PME＝∠AME－∠PME，∴∠EMN＝∠AMP， ∴△AMP∽△EMN，

∴，∴，∵AD＝12，M是AD边的中点，∴AM＝AD＝6，

∵AB＝8，∴；

图① 图② 图③

（2）解：分点N在BC之间和点N在BC延长线上两种情况

（ⅰ）当点N在BC之间时，如图②，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT， ∴∠BFS＝∠CGT＝90°，BS＝PN，CT＝QN，

∵PN＝QN，S△PBN＝S△NCQ，∴BF＝CG，BS＝CT

在Rt△BFS和Rt△CGT中，，∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL），∴∠BSF＝∠CTG，

∴∠BNP＝∠BSF＝∠CTG＝∠CQN，

在△PBN和△NCQ中，，∴△PBN≌△NCQ（AAS），∴BN＝CQ，BP＝CN，

∵AP＝AB－BP＝8－CN，又∵CN＝BC－BN＝12－CQ，∴AP＝CQ－4

又∵CQ＝CD+DQ，DQ＝AP，∴AP＝4+AP（舍去），∴此种情况不成立；

（ⅱ）当点N在BC延长线上时，如图③，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT， 同理可得，△PBN≌△NCQ，∴PB＝NC，BN＝CQ，

∵AP＝DQ， ∵AP+8＝DQ+CD＝CQ＝BC+CN＝12+BP，

∴AP－BP＝4 ①， ∵AP+BP＝AB＝8②， ①+②得：2AP＝12，∴AP＝6．