如图1.在Rt△ABC中.∠B=90°.BC=2AB=8.点D.E分别是边BC.AC的中点.连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转.记旋转角为α．(1)发现问题:①当α=0°时.求AE与BD的比值?②当α=180°时.求AE与BD的比值?③猜想:当0°≤α＜360°时.AE与BD的比值是定值吗?(2)解决问题:当△EDC旋转至A.D.E三点共线时.线段BD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）发现问题：
①当α=0°时，求AE与BD的比值？
②当α=180°时，求AE与BD的比值？
③猜想：当0°≤α＜360°时，AE与BD的比值是定值吗？（不必证明）
（2）解决问题：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，线段BD的长度是多少？

分析（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的$\frac{AE}{BD}$值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{BD}$的值即可．
③首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（2）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．

解答解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{（8÷2）}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE=4$\sqrt{5}$÷2=2$\sqrt{5}$，BD=8÷2=4，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
②如图1，当α=180°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{（8÷2）}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴CD=4，CE=2$\sqrt{5}$，
∴AE=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$=6$\sqrt{5}$，BD=8+4=12，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{6\sqrt{5}}{12}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
③猜想：当0°≤α＜360°时，AE与BD的比值是定值．
如图2，当0°≤α＜360°时，$\frac{AE}{BD}$的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

（2）①如图3，∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{80-16}$=8，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=5$\sqrt{5}$．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{80-16}$=8，
在△ABC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BC=DA}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴BP=DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ，
∴四边形BDQP为矩形，
∴BD=PQ=AC-AP-CQ
=4$\sqrt{5}$-$\frac{4}{\sqrt{5}}$-$\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，BD的长为4$\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评此题属于几何变换综合题．考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．

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10．

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（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，并简要说明你的作图方法（不要求证明）．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求．

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