Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+1与抛物线y=

1

2

x²-

1

2

x-3交于A、B两点，A（-2，0），B（4，3），P为AB下方抛物线上一动点（不与A，B）重合，过P作x轴的垂线交AB于点C，作PD⊥AB于点D．是否存在点P，使PC把△PDB分为的两个三角形面积之比为3：5？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：求出直线AB与y轴的交点坐标，再求出∠ACP的余弦和正弦，过点D作DF⊥PC于F，设点P的横坐标为m，表示出PC，再利用∠ACP的余弦和正弦表示出DF，再表示出点B到PC的距离，然后根据PC分成的两个三角形的面积关系分两种情况列方程求出m，在待人抛物线求出横坐标，即可得解．

解答：解：令x=0，则y=1，
所以，直线y=

1

2

x+1与y轴的交点E的坐标为（0，1），
由勾股定理得，AE=

22+12

=

5

，
所以，cos∠ACP=

1

5

，
sin∠ACP=

2

5

，
过点D作DF⊥PC于F，设点P的横坐标为m，
则PC=

1

2

m+1-（

1

2

m²-

1

2

m-3）=-

1

2

m²+m+4，
所以，CD=PC•cos∠ACP=

1

5

（-

1

2

m²+m+4），
DF=CD•sin∠ACP=

2

5

×

1

5

（-

1

2

m²+m+4）=-

1

5

（m²-2m-8），
又∵点B到PC的距离为（4-m），
∴△PCD和△PCB的面积的比=-

1

5

（m²-2m-8）：（4-m）=

m+2

5

，
当S_△PCD：S_△PCB=3：5时，

m+2

5

=

3

5

，
解得m=1，
此时，

1

2

m²-

1

2

m-3=

1

2

×1²-

1

2

×1-3=-3，
点P的坐标为（1，-3），
当S_△PCB：S_△PCD=3：5时，

m+2

5

=

5

3

，
解得m=

19

3

，
∵

19

3

＞4，
∴点P在点B的右边，不在直线AB的下方，不符合题意舍去，
综上所述，存在P（1，-3），使PC把△PDB分为的两个三角形面积之比为3：5．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了锐角三角函数的定义，三角形的面积，根据等底的三角形的面积的比等于高的比利用点B、D到AC的距离表示出两个三角形的面积的比是解题的关键．