Question

如图，抛物线与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，-4），其中x₁，x₂是方程x²-4x-12=0的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵x2-4x-12=0， ∴x1=-2，x2=6， ∴A（-2，0），B（6，0）， 又∵抛物线过点A、B、C， 故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），将点C的坐标代入，求得， ∴抛物线的解析式为；
（2）设点M的坐标为（，0），过点N作作NH⊥x轴于点H（如图（1））， ∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB=8，AM=m+2， ∵MN∥BC， ∴△MNA∽△ABC， ∴ ∴ ∴ ∴ = = ∴当m=2时，S△CMN有最大值4， 此时，点M的坐标为（2，0）；
（3）∵点D（4，k）在抛物线上， ∴当x=4时，k=-4， ∴点D的坐标是（4，-4）， ①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AFDE， ∵D（4，-4）， ∴DE=4 ∴F1（-6，0），F2（2，0）， ②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0）， 则平行四边形的对称中心为（，0）， ∴E'的坐标为（n-6，4）， 把E'（n-6，4）代入，得n2-16n+36=0， 解得n=，  ，。