Question

在平面直角坐标系中，A（-1，-5）、B（0，-4）、C（4，0），点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,坐标与图形性质

专题：

分析：作出图形，根据点A、B的坐标求出AB、OB，∠ABO=135°，根据点B、C的坐标求出BC，∠BCD=135°，然后分CD与AB，CD与OB是对应边利用相似三角形对应边成比例列式求出CD，再求出OD，然后写出点D的坐标即可．

解答：解：如图，∵A（-1，-5）、B（0，-4），
∴AB=

12+(5-4)2

=

2

，OB=4，∠ABO=180°-45°=135°，
∵B（0，-4）、C（4，0），
∴BC=

42+42

=4

2

，∠BCD=135°，
①CD与AB是对应边时，△OAB∽△BDC，
∴

AB

DC

=

OB

BC

，
即

2

DC

=

4

4 2

，
解得DC=2，
所以，OD=OC+DC=4+2=6，
点D的坐标为（6，0），
②CD与OB是对应边时，△OAB∽△DBC，
∴

AB

BC

=

OB

DC

，
即

2

4 2

=

4

DC

，
解得DC=16，
所以，OD=OC+DC=4+16=20，
点D的坐标为（20，0），
综上所述，点D（6，0）或（20，0）时，以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似．

点评：本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例的性质，根据点的坐标求出135°角得到相等的角是解题的关键，难点在于分情况讨论．