Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°．若定义cotA=

∠A的邻边

∠A的对边

=

b

a

，则称它为锐角A的余切，根据这个定义解答下列问题：
（1）cot30°=

 

；
（2）已知tanA=

3

4

，其中∠A为锐角，试求cotA的值；
（3）求证：tanA=cot（90°-∠A）．

Answer 1

考点：锐角三角函数的定义

专题：新定义

分析：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=30°，根据直角三角形的性质用BC表示出AC的值，再根据余切的定义进行解答即可；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，设BC=3k，则AC=4k，再根据余切的定义进行解答即可；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，∠B=90°-∠A，再根据三角函数的定义得出tanA=

BC

AC

，cotB=

BC

AC

，进而得到tanA=cot（90°-∠A）．

解答：解：（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
设∠A=30°，则AB=2BC，AC=

3

BC，
所以cot30°=

AC

BC

=

3 BC

BC

=

3

．
故答案为

3

；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanA=

BC

AC

=

3

4

，
∴可设BC=3k，则AC=4k，
∴cotA=

AC

BC

=

4k

3k

=

4

3

；

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠A+∠B=90°，
即∠B=90°-∠A，
∵tanA=

BC

AC

，cotB=

BC

AC

，
∴tanA=cotB，
即tanA=cot（90°-∠A）．

点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．也考查了直角三角形的性质及学生的阅读理解能力．