【题目】在边长为2的正方形ABCD中,P为AB上的一动点,E为AD中点,FE交CD延长线于Q,过E作EF⊥PQ交BC的延长线于F,则下列结论:①△APE≌△DQE;②PQ=EF;③当P为AB中点时,CF=;④若H为QC的中点,当P从A移动到B时,线段EH扫过的面积为,其中正确的是( )
A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
【答案】B
【解析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识一一判断即可;
解:①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=90°,
∵∠A=∠EDQ,∠AEP=∠QED,AE=ED,
∴△AEP≌△DEQ,故①正确,
②作PG⊥CD于G,EM⊥BC于M,
∴∠PGQ=∠EMF=90°,
∵EF⊥PQ,
∴∠PEF=90°,
∴∠PEN+∠NEF=90°,∵∠NPE+∠NEP=90°,
∴∠NPE=∠NEF,
∵PG=EM,
∴△EFM≌△PQG,
∴EF=PQ,故②正确,
③连接QF.则QF=PF,PB2+BF2=QC2+CF2,设CF=x,
则(2+x)2+12=32+x2,
∴x=1,故③错误,
④当P在A点时,Q与D重合,QC的中点H在DC的中点S处,当P运动到B时,QC的中点H与D重合,
故EH扫过的面积为△ESD的面积的一半为,故④正确.
故选B.
“点睛”本题考查了正方形,全等三角形的性质和判定,平行线性质的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.
(3)当墙的最大可利用长度为10米时,围成花圃的最大面积是多少?
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【题目】阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.
∵M是的中点,
∴MA=MC
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)填空:如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2,D为⊙O上 一点, ,AE⊥BD与点E,则△BDC的周长是 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在⊙O的内接四边形ACDB中,AB为直径,AC:BC=1:2,点D为的中点,BE⊥CD垂足为E.
(1)求∠BCE的度数;
(2)求证:D为CE的中点;
(3)连接OE交BC于点F,若AB=,求OE的长度.
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