Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为

1. A.
   14
2. B.
   20
3. C.
   24
4. D.
   30

Answer 1

D
分析：设AD=x，由切线长定理得AF=x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE=CF=2，BD=BF=3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
解答：解：连接OE、OF，设AD=AE=x，由切线长定理得AE=x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC=5，
∴CE=CF=2，BD=BF=3，
∴在Rt△ABC中，
∵AC²+BC²=AB²，即（x+2）²+5²=（x+3）²，
解得x=10，
∴△ABC的周长为12+5+13=30．
故选D．
点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键．