Question

【题目】如图，矩形ABCD的周长为32，AB＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结AF，CE，且EF与AC相交于点O.

(1)求AC的长；

(2)求证：四边形AECF是菱形；

(3)求EF的长；

(4)求S△ABF与S△AEF的比值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）详见解析；（3）；（4）8∶17

【解析】

（1）矩形ABCD的周长为32，AB＝6，则可求得BC的值，再根据勾股定理求得AC的值；

（2）通过证明△AOE≌△COF，可证明四边形AFEC是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”证明即可；

（3）设AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，由勾股定理可求出x的值，然后由面积法即可求出EF的长；

（4）由(2)(3)知，AE＝CF＝，BF＝BC－CF＝，然后根据S△ABF与S△AEF的面积比等于BF∶AE即可得到其比值．

解：(1) ∵矩形ABCD的周长为32，AB＝6，

∴BC=32÷2-6=10，

∴AC＝＝＝2；　

(2) ∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFEC是平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形；

(3)由(2)知，四边形AE CF是菱形，

∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，

则BF＝10－x，

在Rt△ABF中，62＋(10－x)2＝x2，解得x＝，

∴CF＝，

∵S菱形AECF＝AC·EF＝CF·AB，

∴EF＝＝；

(4)由(2)(3)知，四边形AECF是菱形，

∴AE＝CF＝，BF＝BC－CF＝，

∵AD∥BC，

∴S△ABF∶S△AEF＝BF∶AE＝∶＝8∶17