【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=－
＋b(b＞0,b为常数)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴交于点C，与y轴正半轴相交于点D.
(1)若直线AB与⊙O相切于弧CD上一点，求b的值；
(2)若直线AB与⊙O有两个交点F、G.
①b为何值时，⊙O上有且只有3个点到直线AB的距离为2？并求出此时直线被⊙O所截的弦FG的长；
②是否存在这样的b，使得∠GOF=90°？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）b=5；（2）①b=
，FG=4
；②b=
.
【解析】
（1）先求出A、B的坐标，进而求出AB的长度．由切线的性质可得OM=4，OM⊥AB于M，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）①由⊙O上有且只有3个点到AB的距离为2，且OM=4，得出ON=2，△BON∽△BAO，再由相似三角形的对应边成比例即可求出b的值．连接OF．由勾股定理和垂径定理即可得到结论；
②当b=时，∠GOF=90°．通过作OP⊥ FG于P，得到△BOP∽△BAO，再由相似三角形的性质得到OP的长．在△OPG中，由勾股定理得到PG的长，从而得到△OFG为等腰直角三角形，即可得到结论．
（1）如图1．
∵一次函数y=-
与x轴，y轴交于AB，∴A（
）B（0，b），∴AB=
．
∵AB与⊙O相切于弧CD上一点，r=4，∴OM=4，OM⊥AB于M，∴S△AOB=
，∴b=5．
（2）①如图2．∵⊙O上有且只有3个点到AB的距离为2，且OM=4，∴ON=2，∴△BON∽△BAO，∴
=
，∴
，∴b=．过O作JK∥FG交⊙O于J，K，则J和K到直线AB的距离等于2．
连接OF．∵ON=2，OF=4，∴FN=2，∴FG=4；
②如图3，当b=时，∠GOF=90°．理由如下：
作OP⊥ FG于P，∴△BOP∽△BAO，∴=
=
，∴OP=2
．
∵OG=4，∴OP=PG=2，∴∠OGF=45°，∴△OFG为等腰直角三角形，∴∠FOG=90°．
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【题目】矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接DE，把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，当△BEC′为直角三角形时，BE的长为_____．
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【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=
，∠B=120°，点E是AD边上的一个动点（不与A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG=DE．若△EFG是等腰三角形，则DE的长为_____．
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【题目】如图，直线l1过点A(0，4)与点D(4，0)，直线l2：y＝
x＋1与x轴交于点C，两直线l1，l2相交于点B.
(1)求直线l1的函数表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)求△ABC的面积．
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【题目】如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10= ．
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【题目】操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A、P两点间的距离为x．
探究：
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由．
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，
、
坐标为
、
，
为线段
上的一点．
（1）如图1，若为的中点，点
、
分别是
、
边上的动点，且保持
，则在点、运动的过程中，探究线段
、
之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若为线段上异于、的任意一点，过点作
，交
、分别于
、
两点，
为上一点，且
，试判断线段
与
的数量关系，并说明理由．
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