Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，、坐标为、，为线段上的一点．

（1）如图1，若为的中点，点、分别是、边上的动点，且保持，则在点、运动的过程中，探究线段、之间的位置关系与数量关系，并说明理由．

（2）如图2，若为线段上异于、的任意一点，过点作，交、分别于、两点，为上一点，且，试判断线段与的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析

【解析】

（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；
（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；

（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：
如图1中，连接OP．
∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），
∴OB=OA=6，∠AOB=90°，
∵P为AB的中点，
∴OP=AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，
∴∠OPA=90°，
在△PON和△PAM中，

，
∴△PON≌△PAM（SAS），
∴PN=PM，∠OPN=∠APM，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM⊥PN，PM=PN．
（2）结论：OD=AE．理由如下：
如图2中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G，
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP，
在△PAE和△PAG中，

，
∴△PAE≌△PAG（AAS），
∴AE=AG，
∴OD=AE．