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已知关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根,
(1)求k的取值范围;
(2)若k取小于1的整数,且此方程的解为整数,则求出此方程的两个整数根;
(3)在(2)的条件下,二次函数y=x2-4x+1-2k与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),D点在此抛物线的对称轴上,若
∠DAB=60°,求D点的坐标.
分析:(1)根据根的判别式,有两个不等的实根,根的判别式△=b2-4ac>0列出关于k的不等式12+8k>0,求解即可得到k的取值范围;
(2)利用(1)中k的取值范围求得k的整数解,然后将其代入关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0并整理,再根据配方法进行求解;
(3)先求出二次函数的解析式,然后求出抛物线与x轴的交点,从而得到对称轴的解析式以及AB的长度,再根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离,然后根据点D在AB的上方与下方两种情况讨论得解.
解答:解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根,
∴△=(-4)2-4×1×(1-2k)=12+8k>0,
解得,k>-
3
2


(2)∵k取小于1的整数,
∴k=-1或0,
①当k=-1时,方程为x2-4x+3=0,
即(x-2)2=1,
∴x-2=1或x-2=-1,
解得x1=3,x2=1,
②当k=0时,方程为x2-4x+1=0,
即(x-2)2=3,
∵方程的解为整数,
∴k=0不符合,
∴k=-1,此时方程的两个整数根是x1=3,x2=1;

(3)如图所示,根据(2),二次函数解析式为,y=x2-4x+3,
∴点A、B的坐标分别为A(1,0),B(3,0),
∴对称轴为x=2,
∴AC=
1
2
(3-1)=1,
∵∠DAB=60°,
∴AD=2AC=2,
∴CD=
AD2-AC2
=
22-12
=
3

当点D在AB的上方时,坐标为(2,
3
),在AB的下方时,坐标为(2,-
3
),
∴点D的坐标为(2,
3
)或(2,-
3
).
点评:本综合考查了根的判别式,一元二次方程的解法以及二次函数的性质,抛物线与x轴的交点情况,综合性较强,但难度不是很大,根据整数根求出k的值是解题的关键.
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1
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