Question

12．已知线段AB上两点C、D，AB=10cm，AC=4cm，BD=2cm．点P从A点出发以每秒1cm的速度向点B运动．点Q从B出发到达点A后返回点B．P、Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当Q到达D点时，PA=$\frac{1}{3}$PC．设点P运动的时间是t秒．
（1）求点Q的运动速度；
（2）是否存在某一时间t，使PQ=4cm？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由PA=$\frac{1}{3}$PC，及PA+PC=AC=4cm，求出PA=1cm，再根据时间=路程÷速度求出点P运动的时间，即为点Q运动的时间，又点Q运动的路程为BD的长度，根据速度=路程÷时间即可求解；
（2）先由点P运动的速度及路线，可得点P运动10秒到达点B，运动时间是10秒；同样求出点Q运动5秒到达点A，且运动时间是10秒；P，Q两点在线段AB上相遇时间是：10÷（1+2）=$\frac{10}{3}$（秒），再分三种情况进行讨论：①0≤t≤$\frac{10}{3}$；②$\frac{10}{3}$＜t≤5；③5＜t≤10．

解答 解：（1）∵PA=$\frac{1}{3}$PC，
∴PC=3PA，
∵PA+PC=AC=4cm，
∴PA+3PA=4cm，
∴PA=1cm，
∵点P运动速度是每秒1cm，
∴运动时间是：1÷1=1（秒），
∴点Q的运动速度是：2÷1=2（cm/s）；

（2）∵点P从A点出发以每秒1cm的速度向点B运动，AB=10cm，
∴点P运动10秒到达点B，点P运动时间是10秒；
∵点Q从B出发到达点A后返回点B，AB=10cm，
∴点Q运动5秒到达点A，点Q运动时间是10秒；
∵P，Q两点在线段AB上相遇时间是：10÷（1+2）=$\frac{10}{3}$（秒），
∴当PQ=4cm时，分三种情况进行讨论：
①当0≤t≤$\frac{10}{3}$时，（1+2）t=10-4，解得t=2；
②当$\frac{10}{3}$＜t≤5时，（1+2）t=10+4，解得t=$\frac{14}{3}$；
③当5＜t≤10时，2t+4=t+10，解得t=6．
答：存在某一时间t，能够使PQ=4cm，此时t的值为2秒或$\frac{14}{3}$秒或6秒．

点评 本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．进行正确分类是本题的难点．