Question

1．若在实数范围内有因式分解：x³+px+q=（x-a）（x-b）（x-c）且q≠0，求$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}}{abc}$的值．

Answer 1

分析 根据x³+px+q=（x-a）（x-b）（x-c）且q≠0，展开后得到a，b，c与p，q的关系，当x=a，x=b，x=c时，可以求得a³，b³，c³与p，q的关系，从而可以解答本题．

解答 解：∵x³+px+q=（x-a）（x-b）（x-c）且q≠0，
∴x³+px+q=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc．
∴a+b+c=0，q=-abc．
∴x=a时，a³+pa+q=0；x=b时，b³+pb+q=0；x=c时，c³+pc+q=0．
∴a³=-pa-q，b³=-pb-q，c³=-pc-q．
∴$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}}{abc}$=$\frac{-pa-q-pb-q-pc-q}{-q}$=$\frac{-p（a+b+c）-3q}{-q}=\frac{-3q}{-q}=3$．
即$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}}{abc}$的值是3．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是根据题目中的信息找出所求问题需要的条件．